Кинетическая энергия пружинного маятника. Математический и пружинный маятники. Уравнение плоской волны
Пружинный маятник - это колебательная система, состоящая из материальной точки массой т и пружины. Рассмотрим горизонтальный пружинный маятник (рис. 1, а). Он представляет собой массивное тело, просверленное посередине и надетое на горизонтальный стержень, вдоль которого оно может скользить без трения (идеальная колебательная система). Стержень закреплен между двумя вертикальными опорами.
К телу одним концом прикреплена невесомая пружина. Другой ее конец закреплен на опоре, которая в простейшем случае находится в покое относительно инерциальной системы отсчета, в которой происходят колебания маятника. В начале пружина не деформирована, и тело находится в положении равновесия С. Если, растянув или сжав пружину, вывести тело из положения равновесия, то со стороны деформированной пружины на него начнет действовать сила упругости, всегда направленная к положению равновесия.
Пусть мы сжали пружину, переместив тело в положение А, и отпустили . Под действием силы упругости оно станет двигаться ускоренно. При этом в положении А на тело действует максимальная сила упругости, так как здесь абсолютное удлинение x m пружины наибольшее. Следовательно, в этом положении ускорение максимальное. При движении тела к положению равновесия абсолютное удлинение пружины уменьшается, а следовательно, уменьшается ускорение, сообщаемое силой упругости. Но так как ускорение при данном движении сонаправлено со скоростью, то скорость маятника увеличивается и в положении равновесия она будет максимальна.
Достигнув положения равновесия С, тело не остановится (хотя в этом положении пружина не деформирована, и сила упругости равна нулю), а обладая скоростью, будет по инерции двигаться дальше, растягивая пружину. Возникающая при этом сила упругости направлена теперь против движения тела и тормозит его. В точке D скорость тела окажется равной нулю, а ускорение максимально, тело на мгновение остановится, после чего под действием силы упругости начнет двигаться в обратную сторону, к положению равновесия. Вновь пройдя его по инерции, тело, сжимая пружину и замедляя движение, дойдет до точки А (так как трение отсутствует), т.е. совершит полное колебание. После этого движение тела будет повторяться в описанной последовательности. Итак, причинами свободных колебаний пружинного маятника являются действие силы упругости, возникающей при деформации пружины, и инертность тела.
По закону Гука F x = -kx. По второму закону Ньютона F x = ma x . Следовательно, ma x = -kx. Отсюда
Динамическое уравнение движения пружинного маятника.
Видим, что ускорение прямопропорционально смешению и противоположно ему направлено. Сравнивая полученное уравнение с уравнением гармонических колебаний 
, видим, что пружинный маятник совершает гармонические колебания с циклической частотой
Период колебаний пружинного маятника.
По этой же формуле можно рассчитывать и период колебаний вертикального пружинного маятника (рис. 1. б). Действительно, в положении равновесия благодаря действию силы тяжести пружина уже растянута на некоторую величину x 0 , определяемую соотношением mg = kx 0 . При смещении маятника из положения равновесия O на х проекция силы упругости
), один конец которой жёстко закреплён, а на втором находится груз массы m.
Когда на массивное тело действует упругая сила, возвращающая его в положение равновесия, оно совершает колебания около этого положения.Такое тело называют пружинным маятником. Колебания возникают под действием внешней силы. Колебания, которые продолжаются после того, как внешняя сила перестала действовать, называют свободными. Колебания, обусловленные действием внешней силы, называют вынужденными. При этом сама сила называется вынуждающей.
В простейшем случае пружинный маятник представляет собой движущееся по горизонтальной плоскости твердое тело, прикрепленное пружиной к стене.
Второй закон Ньютона для такой системы при условии отсутствия внешних сил и сил трения имеет вид:
Если на систему оказывают влияние внешние силы, то уравнение колебаний перепишется так:
, где f(x) - это равнодействующая внешних сил соотнесённая к единице массы груза.В случае наличия затухания , пропорционального скорости колебаний с коэффициентом c :
См. также
Ссылки
Wikimedia Foundation . 2010 .
Смотреть что такое "Пружинный маятник" в других словарях:
У этого термина существуют и другие значения, см. Маятник (значения). Колебания маятника: стрелками показаны векторы скорости (v) и ускорения (a) … Википедия
Маятник - устройство, которое, колеблясь, упорядочивает движение механизма часов. Пружинный маятник. Регулирующая деталь часов, состоящая из маятника и его пружины. До изобретения маятниковой пружины, часы приводились в движение одним маятником.… … Словарь часов
МАЯТНИК - (1) математический (или простой) (рис. 6) тело небольших размеров, свободно подвешенное к неподвижной точке на нерастяжимой нити (или стержне), масса которой пренебрежимо мала по сравнению с массой тела, совершающего гармонические (см.)… … Большая политехническая энциклопедия
Твёрдое тело, совершающее под действием прилож. сил колебания ок. неподвижной точки или оси. Математическим М. наз. материальная точка, подвешенная к неподвижной точке на невесомой нерастяжимой нити (или стержне) и совершающая под действием силы… … Большой энциклопедический политехнический словарь
Часы с пружинным маятником - пружинный маятник регулирующая часть часов, также используется в часах средних и маленьких размеров (переносные часы, настольные, и т.д.) … Словарь часов - маленькая спиральная пружина, прикрепленная концами к маятнику и его молоточку. Пружинный маятник регулирует часы, точность которых частично зависит от качества маятниковой пружины … Словарь часов
ГОСТ Р 52334-2005: Гравиразведка. Термины и определения - Терминология ГОСТ Р 52334 2005: Гравиразведка. Термины и определения оригинал документа: (гравиметрическая) съемка Гравиметрическая съемка, проводимая на суше. Определения термина из разных документов: (гравиметрическая) съемка 95… … Словарь-справочник терминов нормативно-технической документации
Анимация
Описание
Когда на массивное тело действует упругая сила, возвращающая его в положение равновесия, оно совершает колебания около этого положения.
Такое тело называют пружинным маятником. Колебания возникают под действием внешней силы. Колебания, которые продолжаются после того, как внешняя сила перестала действовать, называют свободными. Колебания, обусловленные действием внешней силы, называют вынужденными. При этом сама сила называется вынуждающей.
В простейшем случае пружинный маятник представляет собой движущееся по горизонтальной плоскости твердое тело, прикрепленное пружиной к стене (рис. 1).
Пружинный маятник
Рис. 1
Прямолинейное движение тела описывают посредством зависимости его координаты от времени:
x = x (t ). (1)
Если известны все силы, действующие на рассматриваемое тело, то эту зависимость можно установить при помощи второго закона Ньютона:
md 2 x /dt 2 = S F , (2)
где m - масса тела.
Правая часть уравнения (2) есть сумма проекций на ось x всех действующих на тело сил.
В рассматриваемом случае главную роль играет упругая сила, которая является консервативной и может быть представлена в виде:
F (x ) = - dU (x )/dx , (3)
где U = U (x ) - потенциальная энергия деформированной пружины.
Пусть x есть удлинение пружины. Экспериментально установлено, что при малых значениях относительного удлинения пружины, т.е. при условии, что:
Ѕ x Ѕ << l ,
где l - длина недеформированной пружины.
Приближенно справедлива зависимость:
U (x ) = k x 2 /2, (4)
где коэффициент k называют жесткостью пружины.
Из этой формулы вытекает следующее выражение для упругой силы:
F (x ) = - kx . (5)
Эту зависимость называют законом Гука.
Кроме силы упругости на движущееся по плоскости тело может действовать сила трения, которая удовлетворительно описывается эмпирической формулой:
F тр = - r dx /dt , (6)
где r - коэффициент трения.
С учетом формул (5) и (6) уравнение (2) можно записать так:
md 2 x /dt 2 + rdx /dt + kx = F (t ), (7)
где F (t ) - внешная сила.
Если на тело действует только сила Гука (5), то свободные колебания тела будут гармоническими. Такое тело называют гармоническим пружинным маятником.
Второй закон Ньютона в этом случае приводит к уравнению:
d 2 x /dt 2 + w 0 2 x = 0, (8)
w 0 = sqrt (k /m ) (9)
Частота колебаний.
Общее решение уравнения (8) имеет вид:
x (t ) = A cos (w 0 t + a ), (10)
где амплитуда A и начальная фаза a определяются начальными условиями.
Когда на рассматриваемое тело действует только сила упругости (5), его полная механическая энергия не изменяется с течением времени:
mv 2 / 2 + k x 2 /2 = const . (11)
Это утверждение составляет содержание закона сохранения энергии гармонического пружинного маятника.
Пусть на массивное тело кроме упругой силы, возвращающей его в положение равновесия, действует сила трения. В этом случае возбужденные в некоторый момент времени свободные колебания тела будут затухать с течением времени и тело будет стремиться к положению равновесия.
В этом второй закон Ньютона (7) можно записать так:
m d 2 x /dt 2 + rdx /dt + kx = 0, (12)
где m - масса тела.
Общее решение уравнения (12) имеет вид:
x(t) = a exp(- b t )cos (w t + a ), (13)
w = sqrt(w o 2 - b 2 ) (14)
Частота колебаний,
b = r / 2 m (15)
Коэффициент затухания колебаний, амплитуда a и начальная фаза a определяются начальными условиями. Функция (13) описывает так называемые затухающие колебания.
Полная механическая энергия пружинного маятника, т.е. сумма его кинетической и потенциальной энергий
E = m v 2 /2 + kx 2 / 2 (16)
изменяется с течением времени по закону:
dE / dt = P , (17)
где P = - rv 2 - мощность силы трения, т.е. энергия, переходящая в тепло за единицу времени.
Временные характеристики
Время инициации (log to от -3 до -1);
Время существования (log tc от 1 до 15);
Время деградации (log td от -3 до 3);
Время оптимального проявления (log tk от -3 до -2).
Определение
Частота колебаний ($\nu$) является одним из параметров, которые характеризуют колебания Это величина обратная периоду колебаний ($T$):
\[\nu =\frac{1}{T}\left(1\right).\]
Таким образом, частотой колебаний называют физическую величину, равную числу повторений колебаний за единицу времени.
\[\nu =\frac{N}{\Delta t}\left(2\right),\]
где $N$ - число полных колебательных движений; $\Delta t$ - время, за которые произошли данные колебания.
Циклическая частота колебаний (${\omega }_0$) связана с частотой $\nu $ формулой:
\[\nu =\frac{{\omega }_0}{2\pi }\left(3\right).\]
Единицей измерения частоты в Международной системе единиц (СИ) является герц или обратная секунда:
\[\left[\nu \right]=с^{-1}=Гц.\]
Пружинный маятник
Определение
Пружинным маятником называют систему, которая состоит из упругой пружины, к которой прикреплен груз.
Допустим, что масса груза равна $m$, коэффициент упругости пружины $k$. Масса пружины в таком маятнике обычно не учитывается. Если рассматривать горизонтальные движения груза (рис.1), то он движется под действием силы упругости, если систему вывели из состояния равновесия и предоставили самой себе. При этом часто считают, что силы трения можно не учитывать.
Уравнения колебаний пружинного маятника
Пружинный маятник, который совершает свободные колебания - это пример гармонического осциллятора. Пусть он выполняет колебания вдоль оси X. Если колебания малые, выполняется закон Гука, то уравнение движения груза запишем как:
\[\ddot{x}+{\omega }^2_0x=0\left(4\right),\]
где ${\omega }^2_0=\frac{k}{m}$ - циклическая частота колебаний пружинного маятника. Решение уравнения (4) это функция синуса или косинуса вида:
где ${\omega }_0=\sqrt{\frac{k}{m}}>0$- циклическая частота колебаний пружинного маятника, $A$ - амплитуда колебаний; ${(\omega }_0t+\varphi)$ - фаза колебаний; $\varphi $ и ${\varphi }_1$ - начальные фазы колебаний.
Частота колебаний пружинного маятника
Из формулы (3) и ${\omega }_0=\sqrt{\frac{k}{m}}$, следует, что частота колебаний пружинного маятника равна:
\[\nu =\frac{1}{2\pi }\sqrt{\frac{k}{m}}\ \left(6\right).\]
Формула (6) справедлива в случае, если:
- пружина в маятнике считается невесомой;
- груз, прикрепленный к пружине, является абсолютно твердым телом;
- крутильные колебания отсутствуют.
Выражение (6) показывает, что частота колебаний пружинного маятника увеличивается с уменьшением массы груза и увеличением коэффициента упругости пружины. Частота колебаний пружинного маятника не зависит от амплитуды. Если колебания не являются малыми, сила упругости пружины не подчиняется закону Гука, то появляется зависимость частоты колебаний от амплитуды.
Примеры задач с решением
Пример 1
Задание. Период колебаний пружинного маятника составляет $T=5\cdot {10}^{-3}с$. Чему равна частота колебаний в этом случае? Какова циклическая частота колебаний этого груза?
Решение. Частота колебаний - это величина обратная периоду колебаний, следовательно, для решения задачи достаточно воспользоваться формулой:
\[\nu =\frac{1}{T}\left(1.1\right).\]
Вычислим искомую частоту:
\[\nu =\frac{1}{5\cdot {10}^{-3}}=200\ \left(Гц\right).\]
Циклическая частота связана с частотой $\nu $ как:
\[{\omega }_0=2\pi \nu \ \left(1.2\right).\]
Вычислим циклическую частоту:
\[{\omega }_0=2\pi \cdot 200\approx 1256\ \left(\frac{рад}{с}\right).\]
Ответ. $1)\ \nu =200$ Гц. 2) ${\omega }_0=1256\ \frac{рад}{с}$
Пример 2
Задание. Массу груза, висящего на упругой пружине (рис.2), увеличивают на величину $\Delta m$, при этом частота уменьшается в $n$ раз. Какова масса первого груза?
\[\nu =\frac{1}{2\pi }\sqrt{\frac{k}{m}}\ \left(2.1\right).\]
Для первого груза частота будет равна:
\[{\nu }_1=\frac{1}{2\pi }\sqrt{\frac{k}{m}}\ \left(2.2\right).\]
Для второго груза:
\[{\nu }_2=\frac{1}{2\pi }\sqrt{\frac{k}{m+\Delta m}}\ \left(2.2\right).\]
По условию задачи ${\nu }_2=\frac{{\nu }_1}{n}$, найдем отношение $\frac{{\nu }_1}{{\nu }_2}:\frac{{\nu }_1}{{\nu }_2}=\sqrt{\frac{k}{m}\cdot \frac{m+\Delta m}{k}}=\sqrt{1+\frac{\Delta m}{m}}=n\ \left(2.3\right).$
Получим из уравнения (2.3) искомую массу груза. Для этого обе части выражения (2.3) возведем в квадрат и выразим $m$:
Ответ. $m=\frac{\Delta m}{n^2-1}$
